▷ Kovarianz » Definition, Erklärung & Beispiele + Übungsfragen

Die Kovarianz erklärt den Zusammenhang zwischen zwei metrischen Variablen. Bei einem mathematischen Problem aus der Statistik oder der Wahrscheinlichkeitsrechnung geht es um die Auswirkung der einen Variablen, wenn die andere geändert wird. Wird als Ausgangspunkt ein positiver Wert verändert, steigt bei einer Kovarianz vermutlich auch der Wert der anderen Variablen. Mit einer Kovarianz ist es nicht möglich, die Größe einer Veränderung zu ermitteln.

In diesem Text bringen wir dir die Kovarianz näher. Du erfährst, was sich hinter dem stochastischen Hilfsmittel verbirgt und welche mathematische Formel der Kovarianz zugrunde liegt. Nachdem du über die Rechenregeln bei der Ermittlung der Kovarianz Bescheid weißt und wie sich diese interpretieren lässt, zeigen wir die, welcher Unterschied zur Korrelation besteht. Damit du deinen Wissensstand zur Kovarianz ausbaust, kannst du nach dem Beitrag einige Übungsfragen beantworten.

Englisch: covariance

Inhalt dieser Lektion

Was solltest du über die Kovarianz wissen?

Die Kovarianz ist eine entscheidende Ermittlungsgröße, die unter anderem in der Stochastik (Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung) Anwendung findet. Sie bezieht sich auf zwei Variablen, die sich metrisch zueinander verhalten. Als metrisch gelten zwei unterschiedliche Variablen, wenn logische Aussagen zwischen einzelnen Elementen möglich sind.

Entscheidend für die Kovarianz ist, dass es bei einem mathematischen Problem mehrere Variablen gibt, die in einem Abhängigkeitsverhältnis zueinander stehen. Dies bedeutet, dass sich der Wert der einen Variablen ändert, wenn auch diese sich wertmäßig ändert.

Beispiel

Ein Angestellter fährt jeden Morgen mit seinem Pkw zur Arbeit. Dabei wählt er stets denselben Arbeitsweg. Als der Wagen in Reparatur ist, steigt der Angestellte auf die öffentlichen Verkehrsmittel um.

Die metrischen Variablen stehen hier stellvertretend für das Verkehrsmittel und die gewählte Strecke zur Arbeit. Ändert sich das Verkehrsmittel, ändert sich auch die Strecke, weil der Bus verschiedene Haltestellen ansteuern muss. Aus diesem Umstand ergibt sich, dass der Angestellte mit dem Bus mehr Zeit für seinen morgendlichen Arbeitsweg einkalkulieren muss.

Die Formel der Kovarianz

Die Formel für die Kovarianz lautet:

$cov(X,Y)\ =\ \frac{1}{n-1}\ \sum_{i=1}^n\ (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$

Legende:

s(xy) = Kovarianz der Variablen x und y
x = arithmetisches Mittel der Variablen x
ȳ = arithmetisches Mittel der Variablen y
n = gesamte Anzahl der Beobachtungen
x̄ (i) = Beobachtungswert der Variablen x
y(i) = Beobachtungswert der Variablen y

Welche Rechenregeln sind bei der Ermittlung der Kovarianz zu beachten?

Um bei der Ermittlung der Kovarianz keine Fehler zu machen, wendest du die folgenden Rechenregeln an:

Du ermittelst die Merkmalsausprägungen für deine beiden Variablen x und y. Hierzu berechnest du die Differenz, die zwischen dem Wert und dem Mittelwert der Variablen besteht.
Du multiplizierst die Abweichungen und erhältst als Ergebnis die Abweichprodukte für die Variablen x und y.
Im dritten Schritt addierst du alle Abweichprodukte zu einer Gesamtsumme.
Schließlich teilst du die Grundgesamtheit in die Anzahl der Fälle auf. Entscheidend für diesen Ermittlungsschritt ist, ob du mit einer Stichprobe gearbeitet hast oder nicht.

Wie lässt sich die Kovarianz interpretieren?

Für die Kovarianz kann sich eines der folgenden Ergebnisse ergeben.

Jedes Ergebnis ist anders zu interpretieren:

Positive Kovarianz
Negative Kovarianz
Unkorreliertheit

Positive Kovarianz

Bei einer positiven Kovarianz ergibt sich bei einem hohen Wert der einen Variablen auch ein hoher Wert für die andere Variable. Im Umkehrschluss hat das Ergebnis einer negativen Variablen auch einen negativen Wert für die andere Variable zur Folge. Entscheidend ist, dass sich beide Variablen in die richtige Richtung (positiv oder negativ) bewegen.

Negative Kovarianz

Anders als bei einer positiven Kovarianz wirken sich die Werte zweier Variablen nicht in dieselbe Richtung aus. X und y verlaufen hier in entgegengesetzter Richtung. Dies bedeutet, dass die X-Variable z. B. einen niedrigen Wert hat, während die andere Variable in positiver Richtung verläuft.

Unkorreliertheit

Als negatives Ergebnis kann sich bei der Ermittlung der Kovarianz auch ein Ergebnis von 0 ergeben. Dies deutet für den Anwender der Kovarianz darauf hin, dass die Merkmale der Variablen x und y unkorreliert sind. Es besteht somit kein Verhältnis, das auf einen linearen Zusammenhang deutet. Eine stochastische Unabhängigkeit ist mit dem Ergebnis von 0 aber nicht zwingend verbunden. Denn der Zusammenhang muss nicht unbedingt linear sein. Er kann auch exponentiell bestehen.

Welcher Unterschied besteht zwischen der Kovarianz und der Korrelation?

Die Korrelation gilt in der Stochastik als standardisierte Kovarianz. Diese befindet sich in einem Wertebereich, der sich zwischen -1 und +1 befindet. Hiermit kann eine zuverlässige Aussage über die Stärke des Zusammenhangs zweier Variablen getroffen werden. Dies ist mit der Ermittlung der nicht standardisierten Kovarianz nicht möglich.