▷ Poisson-Verteilung » Definition, Erklärung & Beispiele + Übungsfragen

Die Poisson-Verteilung gilt als bestimmte Form der Binomialverteilung. Sie wird hauptsächlich im statistischen Bereich verwendet, wenn die Wahrscheinlichkeit überwiegt, dass ein bestimmtes Ereignis sehr klein ist. Wichtig ist die Abgrenzung der stetigen von einer diskreten Poisson-Verteilung. Daneben gilt es, drei bestimmte Lageparameter zu unterscheiden.

In diesem Text erklären wir dir, was sich hinter der Poisson-Verteilung verbirgt. Wir zeigen dir, wo die Poisson-Verteilung zur Anwendung kommt, wodurch sich die stetige Verteilung nach Poisson von der diskreten Verteilung abgrenzt und welche Lageparameter berücksichtigt werden müssen. Nachdem du weißt, welche Formeln bei der Poisson-Verteilung eine Rolle spielen, heben wir den Praxisbezug anhand eines Beispiels hervor. Um deinen Wissensstand zur Poisson-Verteilung auf einen aktuellen Stand zu bringen, kannst du nach dem Beitrag einige Übungsfragen beantworten.

Synonym: Verteilung nach Poisson

Inhalt dieser Lektion

Was du über die Poisson-Verteilung wissen solltest

Die Poisson-Verteilung geht auf den französischen Physiker Simeon Denis Poisson zurück. Sie spielt in der Statistik eine Rolle, wenn ein Zufallsexperiment gestartet werden soll. Hierbei wird mit der Hilfe der Poisson-Verteilung die Häufigkeit eines Ereignisses über einen zuvor festgelegten Zeitraum untersucht.

Poisson-Verteilung stetig oder diskret: Worin liegt der Unterschied?

In der Statistik werden stetige und diskrete Verteilungen unterschieden.

Stetige Verteilungen beziehen sich auf Wahrscheinlichkeiten, die einen nicht zählbaren Wert als Zufallsvariable ergeben. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einer steigen Verteilung eine Zufallsvariable mit einem bestimmten Wert ergibt, liegt praktisch bei null.

Bei den diskreten Verteilungen verhält es sich anders. Hier treten ausschließlich Zufallsvariablen auf, die einen konkreten Wert haben. Dies kann auch eine Liste sein, die aus negativen Zahlen besteht. Kennzeichnend ist, dass mithilfe einer diskreten Verteilung der Zufallsvariablen jeder Wert zugeordnet werden kann, der ungleich null ist.

Die Poisson-Verteilung gehört zu den diskreten Verteilungen, weil sich als Ergebnis wahrscheinlich eine Zufallsvariable ergibt, die mit einem zählbaren Wert ausgestattet ist. Hieraus folgt, dass die Poisson-Verteilung nicht asymmetrisch ist.

Die Formeln der Poisson-Verteilung

Entsprechend den unterschiedlichen Lageparametern, die bei der Poisson-Verteilung berücksichtigt werden müssen, werden hier die drei folgenden Formeln unterschieden:

Dichtefunktion:
$f(x) = \frac{λ^x}{x!}*e^-λ$
Verteilungsfunktion:
$F(x) = P(X\lex)=∑^xk=of(k)$
Erwartungswert und Varianz:
$E(x)=Var(x)=λ$

Lageparameter der Poisson-Verteilung

Die Lageparameter der Poisson-Verteilung sind:

Der Erwartungswert
Die Standardabweichung

Erwartungswert

Der Erwartungswert lässt sich direkt aus der Formel für die Poisson-Verteilung ablesen.

Standardabweichung

Die Standardabweichung ermittelst du unter Zuhilfenahme des Ertragswerts.

Mit einer Normalverteilung hat die Poisson-Verteilung hingegen nichts zu tun. Die Normalverteilung zählt zu den stetigen Verteilungen, weil die Werte normal verteilt sind. In der Regel ergibt sich hier eine Glockenform.

Poisson-Verteilung in einem Beispiel

Die Poisson-Verteilung kommt zum Einsatz, wenn das zu erwartende Ergebnis sehr klein ist. Ein Unternehmen untersucht z. B. den Kundenverkehr zwischen 12:00 Uhr und 13:00 Uhr. Dieser ist erwartungsgemäß nicht sehr hoch. Dementsprechend wird die Wahrscheinlichkeit festgelegt, dass an einem bestimmten Tag in der Woche nicht mehr als 10 Kunden in der Mittagszeit erscheinen.