Die Standardabweichung ist ein Instrument, das in der Statistik verwendet wird. Es handelt sich hierbei um ein Maß, mit dem die Streubreite der Werte eines Merkmals gemessen werden, die sich um einen Mittelwert bewegen. Als Ergebnis kann sich eine kleine oder eine große Standardabweichung ergeben. Auf dieser Basis kann der Organisator einer Standardabweichung seine Entscheidungen treffen.
In diesem Text zeigen wir dir, was sich hinter der Standardabweichung verbirgt. Du erfährst, wie sich die Standardabweichung als statistisches Instrument definiert und wie sie sich ermitteln lässt. Nachdem du weißt, wie du das Ergebnis einer Standardabweichung interpretieren kannst, erklären wir dir den Zusammenhang zwischen der statistischen Anwendungsmethode und der Varianz. Abschließend stellen wir dir den Praxisbezug anhand eines konkreten Beispiels dar. Damit du deine Kenntnisse zur Standardabweichung vertiefst, beantwortest du nach dem Beitrag einige Übungsfragen.
Synonym: Maß für die Streubreite der Werte eines Merkmals, die sich um dessen Mittelwert bewegen
Was solltest du über die Standardabweichung wissen?
Die Standardabweichung wird in der Statistik eingesetzt, um bestimmte Ergebnisse zu erhalten. Hierbei wird die Streubreite der Werte einer Kennzahl ermittelt, die sich um einen vorher bestimmten Mittelwert bewegen. Mathematische Voraussetzung für die Anwendung der Standardabweichung ist, dass das arithmetische Mittel des Merkmals bekannt ist. Deshalb ist es notwendig, dieses zuvor zu ermitteln.
Als Ergebnis stellst du entweder eine kleine oder eine große Standardabweichung fest. Dies führt zu entsprechenden Schlussfolgerungen, die auch die Entscheidung eines Unternehmens beeinflussen, das die Standardabweichung als Instrument der Statistik einsetzt. Kennzeichnend für die Ermittlung der Standardabweichung ist, dass sich zu keinem Zeitpunkt ein negatives Ergebnis ergeben kann.
Wie lässt sich die Standardabweichung berechnen?
Für die Ermittlung einer Standardabweichung wendest du die folgenden vier Schritte in einer festen Reihenfolge an:
- Du ermittelst den Mittelwert eines Merkmals.
- Dein Ergebnis überträgst du in die Formel für die Ermittlung der Standardabweichung.
- Du berechnest die Varianz.
- Du ermittelst die Standardabweichung.
Den Mittelwert eines Merkmals ermittelst du mithilfe des arithmetischen Mittels. Diesen setzt du anschließend in die Formel zur Berechnung der Quadratwurzel ein. In dem dritten Zwischenschritt ermittelst du die Varianz. Hierauf aufbauend lässt sich die Standardabweichung ermitteln.
Die Standardabweichung ist zudem die Wurzel der Varianz:
![\[ s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} \]](https://www.bwl-lexikon.de/app/ql-cache/quicklatex.com-80e05ca8430971da8e0b7cf6fded5cc8_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wie lässt sich die Standardabweichung interpretieren?
Die Ermittlung der Standardabweichung lässt zwei Interpretationen zu:
- Die Standardabweichung ist kleiner
- Die Standardabweichung ist größer
Standardabweichung ist kleiner
Eine kleine Standardabweichung kennzeichnet sich dadurch, dass die gemessenen Streuwerte nicht weit vom Mittelwert entfernt sind. Wer die Analyse durchführt, muss für sich entscheiden, ob die Standardabweichung für ihn noch akzeptabel ist.
Standardabweichung ist größer
Ist die Standardabweichung größer, bedeutet dies, dass sich nicht alle gemessenen Streuwerte in der Nähe des ermittelten Mittelwerts bewegen. Hier kommt man zu dem Schluss, dass die Abweichungen zu groß sind, als dass sie noch akzeptabel wären.
Beide Interpretationen lassen den Schluss zu, dass eine Standardabweichung auch größer als 1 sein kann. Es ist aber nicht möglich, dass sich eine negative Abweichung ergibt.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Standardabweichung und der Varianz?
Die Standardabweichung steht in einem engen Verhältnis zur Varianz. Bei der Varianz handelt es sich um eine durchschnittlich quadratische Abweichung eines Zufallswertes von seinem Erwartungswert. Anders ausgedrückt zählt die Varianz zu den wichtigsten statischen Streuungsparametern.
Um die Standardabweichung zu ermitteln, benötigst du die Varianz. Denn die Standardabweichung wird in der Statistik als Wurzel der Varianz dargestellt. Wichtig ist, ob du die Standradabweichung auf der Basis einer Zufallsvarianz oder einer Stichprobe ermittelst. Im letzteren Fall baut dein Ergebnis auf einer Zufallsvarianz auf.
Standardabweichung anhand eines konkreten Beispiels
Nach einem Jahr möchte die Geschäftsführung wissen, wie sich die Tätigkeit der Mitarbeiter in dem Callcenter entwickelt hat. In einem weiteren Schritt soll auch geprüft werden, wie sich die neuen Mitarbeiter in das Gefüge des Callcenters integrieren lassen. Um aussagekräftige Ergebnisse zu erhalten, führt ein Unternehmen die Standardabweichung durch. Als zu untersuchendes Merkmal entscheidet sich die Geschäftsleitung für die Dauer, die ein Telefonat dauert. Um das Ergebnis detailliert darstellen zu können, werden alle Ergebnisse in Sekunden festgehalten.
Hierbei ergeben sich die folgenden Zahlen:
- Die durchschnittliche Dauer eines Anrufs liegt bei 300 Sekunden.
- Der niedrigst gemessene Wert beträgt 220 Sekunden.
- Die längste Dauer für ein Telefonat beträgt 375 Sekunden.
Aufgrund der Ergebnisse zeigt sich, dass die gesamte Streubreite sich nicht sehr weit um ihren Mittelwert bewegen. Es ergibt sich somit eine kleine Standardabweichung. Diese ist unter Umständen für das Unternehmen akzeptabel. Falls die Geschäftsführung zu einer anderen Entscheidung gelangt, müssen umgehend entsprechende Gegenmaßnahmen eingeleitet werden.
Übungsfragen
#1. Wo wird die Standardabweichung als Instrument verwendet?
#2. Welche mathematische Voraussetzung muss für die Durchführung der Standardabweichung erfüllt sein?
#3. Was ist kein Ergebnis der Standardabweichung?
#4. Welche Aussage über die Standradabweichung ist nicht korrekt?
Ergebnisse
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