Der Banachraum ist ein vollständig normierter Raum aus der Mathematik. Der assoziierte metrische Raum ist dann mit der Metrik vollständig. Der Begriff des Banachraums steht im Mittelpunkt der Funktionsanalysis. Verschiedene Sätze wie der Fortsetzungssatz oder der Trennungssatz prägen die Theorie der Banachräume.
In der folgenden Lektion erfährst du alles über den Banachraum und dessen theoretische Elemente. Abschließend gibt es noch einige Übungsaufgaben, die dir dabei helfen, das gelernte Wissen anzuwenden.
- Synonyme: Banachscher Raum
- Englisch: Banach spaces
Warum ist das Thema Banachraum wichtig?
Der Banachraum ist für die Funktionsanalysis in der Mathematik von Bedeutung. Dabei handelt es sich um einen Zweig in der mathematischen Wissenschaft, der sich mit der Untersuchung von Vektoren und partiellen Differentialgleichungen beschäftigt.
Dies führt dazu, dass auch Wirtschaftswissenschaftler den Banachraum in der Wirtschaftsmathematik nutzen können. Demnach handelt es sich bei vielen der unendlich dimensionalen Funktionsräume zugleich um einen sogenannten Banachraum.
Das ist der Banachraum
Beim Banachraum handelt es sich um einen vollständig normierten Vektorraum. Nach der Entdeckung durch den Mathematiker Stefan Banach und die Vorstellung in den 1920er Jahren entwickelten sich die Banachräume zum Mittelpunkt des Studiums in der Funktionsanalysis.
Der einfachen Definition zufolge handelt es sich beim Banachraum um einen vollständig normierten Raum:
![\[ (X,\|\cdot \|) \]](https://www.bwl-lexikon.de/app/ql-cache/quicklatex.com-fa93ba87b09a94c4ae339888fe679fca_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die verschiedenen Sätze
Der normierte Raum, der sogenannte Banachraum, wird von unterschiedlichen Sätzen und Eigenschaften charakterisiert, wobei die grundlegenden Sätze dargestellt werden.
Zum einen lässt sich jeder normierte Raum vervollständigen. Somit erhält man einen Banachraum. Dieser enthält den ursprünglichen Raum immer als Teilraum. Zudem ist ein normierter Raum immer nur dann ein Banachraum, wenn in dem Raum jede absolut konvergente Reihe ebenfalls konvergiert.
Übungsfragen
#1. In welchem Bereich kommt der Banachraum zum Einsatz?
#2. Wie lautet die vereinfachte Definition des Banachraums?
#3. „Jeder normierte Raum lässt sich vervollständigen, woraus sich dann immer ein Banachraum ergibt.“ – Richtig oder falsch?
#4. In welchem wirtschaftlichen Bereich kommt der Banachraum wahrscheinlich am meisten zur Anwendung?
#5. Wann wurde der Banachraum von Wissenschaftlern entwickelt und vorstellt?
Ergebnisse
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