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Cobb Douglas Funktion

Enthält: Beispiele · Definition · Formeln · Grafiken · Übungsfragen

In der Mikroökonomie stellt die Cobb-Dou­glas-Funk­tion stellt die Auswirkun­gen von Arbeit und Kap­i­tal auf den gewün­scht­en Out­put dar. Sie kann aber auch als Nutzen­funk­tion angewen­det werden.

Dieses Kapi­tel wird dir zeigen, was genau die Cobb-Dou­glas-Funk­tion ist und welche Bedeu­tung sie hat. Wir zeigen dir auch, wie du diese anwen­den kannst. Im Anschluss kannst du mit unseren Übungsauf­gaben dein Wis­sen zu Cobb-Dou­glas-Funk­tion überprüfen.

  • Syn­onym: Cobb-Dou­glas-Pro­duk­tions­funk­tion
  • Englisch: Cobb–Douglas pro­duc­tion function

Welche Bedeutung hat die Cobb-Douglas-Funktion? 

Die Cobb-Dou­glas-Funk­tion kann sowohl als Pro­duk­tions- als auch als Nutzen­funk­tion genutzt wer­den. In der Ver­wen­dung als Pro­duk­tions­funk­tion kann die Cobb-Dou­glas-Funk­tion genutzt wer­den, um die Änderung des Out­puts durch Verän­derun­gen der Fak­toren Arbeit und Kap­i­tal zu berech­nen. Natür­lich funk­tion­iert auch die umgekehrte Anwen­dung, mit der her­aus­ge­fun­den wer­den kann, wie sich die bei­den Fak­toren ändern müssen, um einen bes­timmten gewün­scht­en Out­put zu erreichen.

Als Nutzen­funk­tion angewen­det beschreibt die Cobb-Dou­glas-Funk­tion die Verän­derung (Erhöhung oder Ver­min­derung) des Nutzens durch die Erhöhung oder Ver­min­derung des Kon­sums eines oder mehrerer Güter.

Was versteht man unter der Cobb-Douglas-Funktion? 

Die Cobb-Dou­glas-Funk­tion wird in der Volk­swirtschaft­slehre, genauer in der Mikroökonomie genutzt, um die Zusam­men­hänge der zwei Fak­toren Arbeit und Kap­i­tal und deren Auswirkung auf den zu erwartenden Out­put darzustellen. Die bei­den Fak­toren sind dabei sub­sti­tu­tion­al, also austauschbar. 

In der Grund­form sieht die Cobb-Dou­glas-Funk­tion fol­gen­der­maßen aus:

    \[ Y = a * L^\alpha * K^\beta \]

Die einzel­nen Bestandteile ste­hen für:

  • Y = Menge des Outputs
  • K = Ein­satz des Fak­tors Kapital
  • L = Ein­satz des Fak­tors Arbeit
  • α = Pro­duk­tion­se­las­tiz­ität des Out­puts in Abhängigkeit zum Fak­tor Arbeit
  • β = Pro­duk­tion­se­las­tiz­ität des Out­puts in Abhängigkeit zum Fak­tor Kapital
  • a = Effizienzparameter

Anhand der Para­me­ter der Pro­duk­tion­se­las­tiz­ität und kön­nen Rückschlüsse auf die Art der Skalierung gezo­gen werden. 

So bedeutet:

  • +1, dass es sich um abnehmende Skalen­erträge handelt
  • +=1, dass es sich um kon­stante Skalen­erträge handelt
  • +>1, dass es sich um zunehmende Skalen­erträge handelt

Bei kon­stan­ten Skalen­erträ­gen führt die Ver­dopplung der Menge je Pro­duk­tions­fak­tor zu ein­er Ver­dopplung der gesamten Menge des Outputs. 

Die Cobb-Dou­glas-Funk­tion kann in diesem Fall auch in fol­gen­der Form geschrieben werden:

    \[ Y = a * L^\alpha * K^{1-\alpha} \]

Die Cobb-Douglas-Funktion als Produktionsfunktion 

Um die Ver­wen­dung der Cobb-Dou­glas-Funk­tion als Pro­duk­tions­funk­tion zu erläutern, nehmen wir fol­gen­des Beispiel an:

Es sei die Produktionsfunktion

    \[ Y = a * L^{0,7} * K^{0,3} \]

gegeben, wobei der Out­put kon­stant auf einem Niveau von 20 liegt. Es soll nun also für eine kon­stante Pro­duk­tion­s­menge die Verteilung der Fak­toren bes­timmt wer­den. Hier­für wer­den die Para­me­ter entsprechend einge­set­zt, um den jew­eils anderen Fak­tor zu bestimmen.

Beispiel
Nehmen wir an, die “Cob­by AG”, tätig in der Her­stel­lung von Sitzmö­beln, möchte pro Schicht 20 Stüh­le pro­duzieren (= Out­put). Nun soll bes­timmt wer­den, wie sich die einzel­nen Fak­toren ver­hal­ten. Es wird angenom­men, dass in ein­er Schicht 20 Mitar­beit­er (= Fak­tor Arbeit) arbeiten. 

Diese set­zt man nun in die gegebene Pro­duk­tions­funk­tion ein:

    \[ 20 = 1 * 20^{0,7} * K^{0,3} \]

Durch Umstel­lung der Pro­duk­tions­funk­tion kann nun das benötigte Kap­i­tal berech­net wer­den. Auch weit­ere Vari­anten kön­nen durchge­spielt wer­den, beispiel­sweise wie sich der Kap­i­talbe­darf ändert, wenn 30 Mitar­beit­er in ein­er Schicht arbeiten. 

Neben der rech­ner­ischen Lösung ist auch eine graphis­che Lösung möglich, indem die Pro­duk­tions­funk­tion in einem Koor­di­naten­sys­tem dargestellt wird:

Cobb-Douglas Funktion
Cobb-Dou­glas Funktion

Die Cobb-Douglas-Funktion als Nutzenfunktion 

Neben der Anwen­dung als Pro­duk­tions­funk­tion kann die Cobb-Dou­glas-Funk­tion auch als Nutzen­funk­tion ver­wen­det wer­den. Hier­bei wird die Gren­zrate und der Gren­znutzen der Sub­sti­tu­tion zur Berech­nung der Max­imierung des Nutzens verwendet. 

In dieser Form der Anwen­dung sieht die Cobb-Dou­glas-Funk­tion wie fol­gt aus:

    \[ U(x_1,x_2) = x^a_1 * x^{1-\alpha}_2 \]

Die einzel­nen Para­me­ter ste­hen in diesem Fall für:

  • U = Nutzen
  • x1= Wirtschaftsgut 1
  • x2= Wirtschaftsgut 2
  • α = Präferenz des Individuums

In dieser Form der Anwen­dung kann die Cobb-Dou­glas-Funk­tion genutzt wer­den, um die Auswirkun­gen auf den Nutzen des Indi­vidu­ums durch die Verän­derung der Kon­sum­menge eines der bei­den betra­chteten Wirtschafts­güter in Abhängigkeit der indi­vidu­ellen Präferen­zen zu analysieren. So kann her­aus­ge­fun­den wer­den, welch­es der betra­chteten Güter vom Indi­vidu­um bevorzugt wird.

Beispiel
Lieselotte hat von Ihrer Oma 10 Euro Taschen­geld bekom­men, um sich selb­st eine Freude zu machen. Mit diesen 10 Euro geht sie zum Kiosk um die Ecke, um sich Süßigkeit­en zu kaufen. Am lieb­sten mag Sie Bon­bons (x1) und Lol­lies (x2).
  • Ein Bon­bon kostet 75 Cent.
  • Ein Lol­lie kostet 1 Euro.

Lieselotte kann sich nicht recht entschei­den, was sie kaufen soll. Da sie ein schlaues Mäd­chen ist, nutzt Sie die Cobb-Dou­glas-Nutzen­funk­tion, um her­auszufind­en, wie sie ihren Nutzen max­imieren kann. 

Sie stellt dazu fol­gende Funk­tion auf:

    \[ U(x_1,x_2) = x^{0,5}_1 * x^{0,5}_2 \]

Wenn Lieselotte nur einen Lol­lie kauft, kann Sie sich noch 12 Bon­bons leis­ten, um das Bud­get voll auszunutzen. 

Ihr Nutzen beträgt dann:

    \[ U(x_1,x_2) = 12^{0,5} * 1^{0,5} = 3.4641016151377544 \]

Durch erset­zen der Menge von x1und x2unter Berück­sich­ti­gung des vorhan­den Bud­gets kann Lieselotte ermit­teln, wie sie Ihren Nutzen max­imieren kann.

Übungsfragen

#1. Was versteht man unter der Cobb-Douglas-Funktion? 

#2. Wozu kann die Cobb-Douglas-Funktion genutzt werden? 

#3. “Bei konstanten Skalenerträgen führt eine Verdopplung der einzelnen Produktionsfaktoren automatisch zur Verdopplung der Outputmenge.” — Diese Aussage ist: 

#4. “Die Parameter der Produktionselastizität und beschreiben die Art der Skalierung der Cobb-Douglas-Funktion.” — Diese Aussage ist: 

#5. “Die Cobb-Douglas-Funktion wird vor allem in der Makroökonomie genutzt.” — diese Aussage ist: 

Fer­tig

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