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Zum Grundwissen des kaufmännischen Rechnens zählen der Dreisatz (gerader und ungerader Dreisatz sowie der Kettensatz), die Prozentrechnung, das Währungsrechnen, die Durchschnitts- und Verteilungsrechnung sowie die Zinsrechnung. Das kaufmännische Rechnen ist die Basis für erfolgreiches kaufmännisches Handeln und sollte von Kaufleuten daher souverän beherrscht werden.
In dieser Lerneinheit zeigen und erklären wir dir die wichtigsten Arten der kaufmännischen Rechenarten und bieten dir Beispiele zur jeweiligen Berechnung. Im Anschluss an die Erklärungen hast du die Möglichkeit, dein Wissen auf die Probe zu stellen.

Englisch: business calculations | commercial arithmetic | commercial calculating

Warum ist das kaufmännische Rechnen wichtig?

Das kaufmännische Rechnen bildet eine wichtige Grundlage für die täglichen betrieblichen Abläufe und ist daher bedeutsamer Teil der kaufmännischen Ausbildung. Passende Software-Angebote für den PC sowie hilfreiche Apps für das Smartphone oder Tablet sind zwar überall zu finden. Doch erfolgreiche Kaufleute wissen auch bei der Bedienung der entsprechenden Programme und sollten bei Bedarf erläutern können, was genau sie da eigentlich tun.

Wir erklären die wichtigsten Grundlagen für das kaufmännische Rechnen.

Dreisatz

Mithilfe des Dreisatzes kannst du aus drei bekannten Werten einen vierten ermitteln. Der Dreisatz ist sehr flexibel anwendbar und eignet sich zur Lösung zahlreicher alltäglicher Rechenaufgaben. Der Dreisatz wird so genannt, weil die Berechnung des vierten Wertes in drei Schritten (Sätzen) erfolgt.

Es gibt drei unterschiedliche Formen des Dreisatzes:

den Dreisatz mit geradem (proportionalem) Verhältnis
den Dreisatz mit ungeradem (antiproportionalen) Verhältnis
den zusammengesetzten Dreisatz bzw. Kettensatz

Dreisatz mit geradem (proportionalem) Verhältnis

Beim Dreisatz mit geradem bzw. proportionalem Verhältnis heißt es „je mehr, desto mehr“ bzw. „je weniger, desto weniger“.

Beispiel: Dreisatz mit geradem Verhältnis

Der Malermeister Johann Hansen benötigt von einer bestimmten Wandfarbe 0,2 Liter pro Quadratmeter. Ein Kunde möchte sein Arbeitszimmer streichen lassen; die gesamte Fläche aller zu streichenden Wände beträgt 54 Quadratmeter. Wie viel Farbe benötigt Johann Hansen für diesen Raum?

Je mehr Quadratmeter zu streichen sind, desto mehr Farbe wird gebraucht.

Bedingungssatz:
1 Quadratmeter – 0,2 Liter
Fragesatz:
54 Quadratmeter – x Liter
Lösungssatz:
$\frac{0,2*54}{1} = 10,8$

Beim Dreisatz mit geradem Verhältnis wird „über Kreuz“ gerechnet, das heißt, dass der Wert oben rechts mit dem Wert unten links multipliziert und dann durch den Wert oben links dividiert wird. Das Ergebnis lautet 10,8 Liter.

Dreisatz mit ungeradem (antiproportionalen) Verhältnis

Beim Dreisatz mit ungeradem bzw. antiproportionalem Verhältnis heißt es „je mehr, desto weniger“ bzw. „je weniger, desto mehr“.

Beispiel: Dreisatz mit ungeradem Verhältnis

Sieben Pumpen können ein bestimmtes Schwimmbecken in insgesamt 3,5 Stunden leeren. Aufgrund von Wartungsarbeiten können jedoch nur vier Pumpen genutzt werden. Wie lange dauert es nun, das Becken zu leeren?

Je weniger Pumpen zur Verfügung stehen, um so mehr Zeit wird benötigt.

Bedingungssatz:
7 Pumpen – 3,5 Stunden
Fragesatz:
4 Pumpen – x Stunden
Lösungssatz:
$\frac{7*3,5}{4} = 6,125~Stunden$

Beim Dreisatz mit ungeradem Verhältnis werden die beiden oben stehenden Werte miteinander multipliziert und dann durch den Wert unten links dividiert. Das Ergebnis lautet 6,125 Stunden.

Zusammengesetzter Dreisatz bzw. Kettensatz

Beim zusammengesetzten Dreisatz sind mehr als nur ein Wert zu ermitteln; dabei kann das Verhältnis der Angaben zueinander sowohl proportional als auch antiproportional sein.

Beispiel: Zusammengesetzter Dreisatz

Vier Handwerker können in sechs Stunden 250 Quadratmeter Fliesen verlegen. Das Unternehmen stellt einen weiteren Handwerker ein; gemeinsam sollen die Mitarbeiter beim nächsten Projekt 600 Quadratmeter verlegen. Wie lange benötigen sie dafür?
Je mehr Handwerker tätig werden, desto weniger Zeit benötigen sie → antiproportionales Verhältnis
Je mehr Quadratmeter verlegt werden müssen, desto mehr Zeit benötigen sie. → proportionales Verhältnis.

Bedingungssatz:
4 Handwerker – 250 Quadratmeter – 6 Stunden
Fragesatz:
5 Handwerker – 600 Quadratmeter – x Stunden
Lösungssatz
$\frac{4*6}{5}$

$\frac{600*6}{250}$

$\frac{4*600*6}{5*250} = 11,52~Stunden$

Das Ergebnis lautet: 11,52 Stunden.

Prozentrechnung

Die Prozentrechnung ist der Dreisatz-Rechnung im Grunde sehr ähnlich, doch zeigen sich hier einige Spezialitäten, die jeder (angehende) Kaufmann beherrschen sollte.
Grundsätzlich heißt Prozent Hundertstel; sie dient der Darstellung von Größenverhältnissen. Die Grundgröße beträgt einheitlich 100, so lassen sich unterschiedliche Größen mühelos miteinander vergleichen. Ein Prozent (1 %) kann als Bruch (1/100) und als Dezimalzahl (0,01) dargestellt werden.

Beispiel: Prozentrechnung

Von den 250 Mitarbeitern eines Unternehmens fahren 150 regelmäßig mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur Arbeit. Das sind 60 Prozent aller Mitarbeiter.
Die Gesamtanzahl von 250 Mitarbeitern ist der Grundwert.
Der Anteil von 150 Mitarbeitern, der mit öffentlichen Verkehrsmitteln fährt, ist der Prozentwert.
Der Anteil von diesen 150 Mitarbeitern = 60 Prozent ist der Prozentsatz.

Prozentsatz berechnen

Zur Berechnung des Prozentsatzes ist folgende Formel zu verwenden:

$Prozentsatz = \frac{Prozentwert * 100}{Grundwert}$

$\frac{150~Mitarbeiter * 100}{250~Mitarbeiter} = 60 %$

Prozentwert berechnen

Um den Prozentwert zu berechnen, verwendest du folgende Formel:

$Prozentwert = \frac{Grundwert * Prozentsatz}{100}$

$\frac{250~Mitarbeiter * 60}{100} = 150~ Mitarbeiter$

Grundwert berechnen

Und den Grundwert berechnest du folgendermaßen:

$Grundwert = \frac{Prozentwert * 100}{Prozentsatz}$

$\frac{150~Mitarbeiter * 100}{60} = 250~Mitarbeiter$

Varianten der Prozentrechnung

Bei der genannten Berechnung handelt es sich um eine Prozentrechnung von Hundert, das heißt, der Grundwert entspricht 100 Prozent.

Zwei weitere Varianten sind

Prozentrechnung in Hundert
Prozentrechnung auf Hundert

Die Prozentrechnung in Hundert

Nach Abzug von 20 % Rabatt kostet eine Ware 160,00 EUR. Wie hoch war der ursprüngliche Preis?

Der ursprüngliche Preis der Ware entspricht 100 %; der reduzierte also 80 %.

Schauen wir uns diesen Fall einmal im Dreisatz an:

Bedingungssatz:
80 % – 160,00 EUR
Fragesatz:
100 % – x EUR
Lösungssatz:
$\frac{160*100}{80} = 200~EUR$

Vor der Reduzierung kostete die Ware 200 EUR.

Die Prozentrechnung auf Hundert

Ein Unternehmer kauft eine Ware im Wert von 1.785 EUR inklusive 19 % Umsatzsteuer. Wie hoch ist der Netto-Warenwert?
Der Warenwert von 1.785 EUR entspricht 119 %, da die Umsatzsteuer immer vom Nettopreis berechnet wird.

Im Dreisatz sieht diese Berechnung folgendermaßen aus:

Bedingungssatz:
119 % – 1.785,00 EUR
Fragesatz:
100 % – x EUR
Lösungssatz:
$\frac{1785*100}{119} = 1.500~EUR$

Der Nettopreis der Ware beträgt 1.500 EUR.

Währungsumrechnung

Auch beim Umrechnen von Währungen hat sich die Anwendung des Dreisatzes (mit normalem Verhältnis) bewährt.

Beispiel: Währungsumrechnung

500 Euro sollen in Kanadische Dollar (CAD) getauscht werden. Der Kurs beträgt 1,35827 CAD pro EUR.

Bedingungssatz:
1 EUR – 1,35827 CAD
Fragesatz:
600 EUR – x CAD
Lösungssatz:
$\frac{600*1,35827}{1} = 814,962~CAD$

Beispiel: Währungsumrechnung

Ein Beispiel in die andere Richtung: Die Rechnung eines Schweizer Unternehmens beträgt 463,50 Schweizer Franken (CHF). Der Kurs beträgt 0,73610 EUR. Welchen Euro-Betrag muss der Empfänger in Deutschland überweisen?

Bedingungssatz:
1 CHF – 0,73610 EUR
Fragesatz:
463,50 CHF – x EUR
Lösungssatz:
$\frac{463,50*0,73610}{1} = 341,18235~EUR$

Durchschnitts- bzw. Mittelwertrechnung

Klassische Beispiele für die Durchschnittsrechnung im kaufmännischen Alltag sind Fragen nach durchschnittlichen Kosten, durchschnittlichen Preisen, der durchschnittlichen Anzahl von Klicks auf einer Webseite pro Tag und viele mehr.

Bei der Durchschnittsrechnung ist zwischen dem einfachen und dem gewogenen Durchschnitt zu unterscheiden.

Einfacher Durchschnitt (ungewogenes arithmetisches Mittel)

Er lässt sich sehr einfach berechnen, liefert jedoch nicht immer genaue und weiter verwertbare Ergebnisse, da zufällige Werte, außergewöhnliche Werte und sogenannte „Ausreißer“ genauso gewichtet werden wie typische Werte und das Ergebnis daher stark beeinflussen können.

Formel zur Berechnung des Durchschnitts

Die Formel für die Berechnung lautet

$\frac{Summe~der~Einzelwerte}{Anzahl~der~Einzelwerte}$

Beispiel: Durchschnittsberechnung

Ein Tee-Großhandel verkauft 16 Sorten Tee zu drei unterschiedlichen Preisen pro 100 Kilogramm: 265 EUR, 325 EUR und 350 EUR. Wie viel kosten 100 kg Tee im Durchschnitt?

Der einfache durchschnittliche Preis pro 100 Kilogramm beträgt

$\frac{265~EUR + 325~EUR + 350~EUR}{3} = 313,33~EUR$

Dieser Wert berücksichtigt allerdings nicht die Frage, wie viele Sorten zum Preis von 350 EUR/100 kg und wie viele Sorten zum Preis von 265 EUR/100 kg verkauft werden. Daher ist hier die Berechnung des gewogenen Durchschnitts die bessere Wahl.

Gewogener Durchschnitt (gewogenes arithmetisches Mittel)

Beim gewogenen Durchschnitt wird jeder Einzelwert gemäß seiner „Bedeutung“ berücksichtigt und entsprechend gewichtet. Im obigen Beispiel bedeutet dies, dass zunächst geprüft wird, wie viele der 16 Sorten Tee zu welchem Preis verkauft werden:

Acht Sorten kosten 265 EUR/100 kg,
fünf Sorten kosten 325 EUR/100 kg und
drei Sorten kosten 350 EUR/100 kg.

Gewogenen Durchschnitt berechnen

Der gewogene Durchschnittswert wird folgendermaßen berechnet:

$\frac{8 * 265 + 5 * 325 + 3 * 350}{8 + 5 + 3}$

$\frac{2.120 + 1.625 + 1.050}{16}$

$\frac{4.795}{16} = 299,6875$

Ergebnis: Der durchschnittliche Preis pro 100 Kilogramm Tee beträgt (kaufmännisch gerundet) 299,69 EUR.

Verteilungsrechnung

Müssen Kosten nach einem bestimmten Schlüssel umgelegt werden, greift die Verteilungsrechnung. Typische Beispiele sind die Umlage von Lager-, Fracht- und Verwaltungskosten auf Verkaufspreise. Auch in der Gesamtkostenrechnung zählt die Verteilungsrechnung zu den unbedingten Grundlagen.

Beispiel: Verteilungsrechnung

Vier Personen gründen gemeinsam ein Unternehmen. Dabei investiert jeder von ihnen eine andere Summe:

A 38.500 EUR
B 23.000 EUR
C 27.500 EUR
D 34.000 EUR

Am Ende des ersten Geschäftsjahres ergibt sich ein erwirtschafteter Gewinn in Höhe von 511.810 EUR. Die Verteilung dieses Betrages ist wie folgt festgelegt:
Jedes der Gründungsmitglieder erhält 7 Prozent der von ihm getätigten Investition, der Rest wird gleichmäßig pro Kopf verteilt.

Gründer	Investition in EUR	davon 7 Prozent in EUR
A	38.500	2.695
B	23.000	1.610
C	27.500	1.925
D	34.000	2.380
	=	8,610

Die Summe wird vom Gesamtgewinn abgezogen:

\] 511.810~EUR – 8.610~EUR = 503.200~EUR
\]

Der ermittelte Betrag wird nun durch vier geteilt:

$\frac{503.200~EUR}{4} = 125.800~EUR$

Somit ergibt sich folgende Gewinnverteilung:

Gründer	Investition in EUR	davon 7 Prozent in EUR	25 % vom Restbetrag in EUR	Gesamtanteil am Gewinn in EUR
A	38.500	2.695	125.800	128.495
B	23.000	1.610	125.800	127.410
C	27.500	1.925	125.800	127.725
D	34.000	2.380	125.800	128.180
Summe		8.610	503.200	511.810

Zinsrechnung

Sobald es um die Finanzen eines Unternehmens geht, spielen auch Zinsen eine wichtige Rolle. Sie sind für aufgenommene Kredite und Darlehen zu zahlen und haben eine hohe Bedeutung in Hinsicht auf die Rentabilität von Investitionen – seien es Aktiengeschäfte oder der Kauf technischer Anlagen.

Grundlagen der Zinsrechnung

Bei Zinsen handelt es sich um eine Vergütung dafür, dass Geld für einen definierten Zeitraum zur Nutzung überlassen wird.

Die Faktoren der Zinsrechnung sind:

das Kapital K₀, das zu Beginn der Laufzeit eingesetzt wird
das Kapital K_n, das am Ende der Laufzeit erwirtschaftet wird
der Zinssatz p in Prozent
der Zinsbetrag Z
die Laufzeit in Monaten (m), Tagen (t) oder Jahren (j)

Einfache Zinsrechnung

Folgende Formeln werden für die einfache Zinsrechnung benötigt:

$Jahreszinsen = \frac{Kapital*Zinssatz*Jahre}{100}$

$Monatszinsen = \frac{Kapital*Zinssatz* Monate}{12}}{100}$

$Tageszinsen = \frac{Kapital*Zinssatz* \[ \frac{Tage}{Tage~pro~Jahr}}{100}$

Beispiel: Zinsrechnung 1

Eine Bank bietet für eine Geldanlage in Höhe von 50.000 EUR einen jährlichen Zinssatz von 2 Prozent. Wie hoch sind die Zinsen nach drei Jahren? (Zinseszins wird hier nicht berücksichtigt!)

$Z = \frac{50.000*2*3}{100} = 3.000~EUR$

Beispiel: Zinsrechnung 2

Erwin Hansen nimmt einen kurzfristigen Kredit in Höhe von 4.000 EUR auf, den er nach acht Monaten inklusive Zinsen zurückzahlen will. Der Zinssatz beträgt 2,5 Prozent pro Jahr. Wie hoch ist der gesamte Rückzahlungsbetrag?

$Z = \frac{4.000*2,5* \[ \frac{8}{12}}{100} = 66,67~EUR$

Er hat nach acht Monaten insgesamt 4.066,67 EUR zurückzuzahlen.

Beispiel: Zinsrechnung 3

Ein Kreditinstitut berechnet für eine Überziehung des Girokontos 12 Prozent pro Jahr. Die Überziehung beträgt 25 Tage lang konstant 2.000 EUR. Wie hoch ist der Zinsbetrag?

$Z = \frac{2.000*12* \[ \frac{25}{360}}{100} = 16,67~EUR$

Die Überziehungszinsen belaufen sich auf 16,67 EUR.

Zinstage berechnen
Zur Berechnung der Zinstage gibt es mehrere Varianten; in der Regel sind sie abhängig davon, ob im privaten, im B2B- oder im B2C-Bereich gerechnet wird.

Hierzulande wird im kaufmännischen Umfeld (B2B) in der Regel die vereinfachte Variante von 30 Tagen pro Monat und 360 Tagen pro Jahr verwendet.
Im privaten sowie im B2C-Bereich wird dagegen häufig mit den realen Tageszahlen pro Monat und Jahr gerechnet.
Wer außerhalb Deutschlands Kredit- und andere Geschäfte tätigt, sollte sich vorab genau nach dem jeweiligen Verfahren erkundigen.

Zinseszinsrechnung

Werden auf ein Guthaben erwirtschaftete Zinsen nicht ausgezahlt, werden diese im folgenden Zeitraum mitverzinst. Es gibt zwei Möglichkeiten, den Zinseszins zu berechnen. Entweder werden die Zinsen auf das ursprünglich eingesetzte Kapital aufgeschlagen oder vom zum Schluss erwirtschafteten Kapital abgezogen. Entsprechend heißen die Verfahren Aufzinsung und Abzinsung.

Aufzinsung

Am Ende der Laufzeit wird das erwirtschaftete Kapital auf Grundlage des eingesetzten Kapitals, der Laufzeit und des Zinssatzes ermittelt.

Beispiel: Aufzinsung

Das eingesetzte Kapital beträgt 100 EUR, die Laufzeit vier Jahre, der Zinssatz 7 Prozent.

Die Formel lautet:

$K_{4} = 100 * (1 + 0,07)^{4}$

$= 100 * 1,3108 = 131,08~EUR$

Gründer	Investition in EUR	davon 7 Prozent in EUR	25 % vom Restbetrag in EUR	Gesamtanteil am Gewinn in EUR
A	38.500	2.695	125.800	128.495
B	23.000	1.610	125.800	127.410
C	27.500	1.925	125.800	127.725
D	34.000	2.380	125.800	128.180
Summe		8.610	503.200	511.810

Abzinsung

Bei der Abzinsung wird zu Beginn der Laufzeit das eingesetzte Kapital auf Grundlage des erwirtschafteten Kapital, der Laufzeit und des Zinssatzes berechnet.

Beispiel: Abzinsung

Das erwirtschaftete Kapital soll 120 EUR betragen, die Laufzeit beträgt vier Jahre, der Zinssatz 7 Prozent.

Die Formel lautet:

$K_{0} = \frac{120}{(1+0,07)^{4}}$

$= \frac{120}{1,3108} = 91,55~EUR$

Das ursprünglich eingesetzte Kapital betrug vor vier Jahren 91,55 EUR.

Kaufmännisches Rechnen

Warum ist das kaufmännische Rechnen wichtig?

Dreisatz

Dreisatz mit geradem (proportionalem) Verhältnis

Dreisatz mit ungeradem (antiproportionalen) Verhältnis

Zusammengesetzter Dreisatz bzw. Kettensatz